¿Qué es el paralelismo en matemáticas y cómo se define en la geometría moderna?

En geometría, el paralelismo es una relación fundamental que se establece entre variedades lineales de dimensión mayor o igual a uno, tales como rectas, planos o hiperplanos. Esta noción describe entidades que mantienen una orientación constante entre sí y no convergen ni se intersectan dentro de su espacio de referencia, o bien coinciden de manera idéntica según el marco axiomático adoptado.

¿Cómo se define el paralelismo en la geometría euclidiana y afín?

En la geometría euclidiana tradicional, dos rectas contenidas en un mismo plano se definen como paralelas si son coplanares y no comparten ningún punto, extendiéndose indefinidamente hacia el infinito sin cruzarse, o bien si son exactamente la misma recta coincidente. Por otro lado, en la geometría afín, expresando una variedad lineal mediante la forma general V = p + E (donde p es un punto y E un espacio vectorial), se establece que una variedad lineal A es paralela a B si el subespacio vectorial asociado a una está contenido en el de la otra, o viceversa. En el plano cartesiano bidimensional, esto se traduce en que dos rectas comparten un mismo vector director o poseen idéntica pendiente.

¿Cuáles son las propiedades principales de las rectas paralelas en el plano?

La relación de paralelismo entre rectas en el plano euclidiano cumple con propiedades fundamentales que permiten estructurarla algebraicamente. En primer lugar, la relación es simétrica, lo que significa que si una recta es paralela a una segunda, la segunda es a su vez paralela a la primera. Asimismo, bajo ciertas formulaciones axiomáticas avanzadas como las de la geometría afín o mediante definiciones específicas que incluyen las rectas coincidentes, la relación adquiere carácter reflexivo y transitivo, configurando una auténtica relación de equivalencia donde toda recta es paralela a sí misma y si una recta a es paralela a b, y b a su vez es paralela a c, entonces a es paralela a c.

¿Cómo surgió el concepto de paralelismo en la historia de las matemáticas?

El estudio formal del paralelismo se remonta a la antigüedad clásica, apareciendo destacado como la Definición 23 en el Libro I de Los Elementos de Euclides. Durante siglos, matemáticos griegos como Posidonio y Gemio intentaron proponer definiciones alternativas, a menudo buscando demostrar el célebre quinto postulado de las paralelas. A finales del siglo XIX, con la irrupción de la geometría proyectiva y las geometrías no euclidianas, surgieron intensos debates educativos en Inglaterra sobre cómo enseñar estos conceptos en las escuelas secundarias. Reformadores como James Maurice Wilson propusieron basar el paralelismo en la noción primitiva de dirección, lo que generó controversias académicas reseñadas por críticos de la época como Lewis Carroll en su obra Euclides y sus modernos rivales.

¿Qué símbolos y notaciones matemáticas se emplean para representar el paralelismo?

El símbolo matemático estándar universalmente aceptado para denotar que dos elementos geométricos son paralelos es el par de líneas verticales paralelas (∥). Por ejemplo, la expresión AB ∥ CD indica que la línea recta AB es paralela a la línea CD. En sistemas tipográficos modernos y codificaciones informáticas como Unicode, este carácter se encuentra registrado en el punto de código U+2225, mientras que U+2226 representa la relación de no paralelismo (∦). Históricamente, notaciones similares fueron consolidadas por matemáticos de los siglos XVII y XVIII como William Oughtred y John Kersey, diferenciándose claramente de los corchetes de doble barra utilizados para normas matemáticas o de los operadores lógicos empleados en la informática.

¿Cómo se comporta el paralelismo en las geometrías no euclidianas?

En las geometrías no euclidianas, el concepto de recta se sustituye por el de geodésica, y las propiedades equivalentes del plano euclidiano dejan de cumplirse simultáneamente. En la geometría hiperbólica, al considerar una recta y un punto exterior, existen múltiples geodésicas que no se intersectan con la recta dada; estas se dividen en paralelas límite (que convergen hacia un punto ideal en el infinito) y ultraparalelas (que poseen una única perpendicular común y divergen a ambos lados). En contraste, en la geometría esférica o elíptica, las geodésicas están representadas por grandes círculos que siempre se intersectan entre sí en dos puntos antípodas, lo que significa que no existen geodésicas paralelas en dicho sistema.

Sources & Further Reading

Llopis, José L. Rectas paralelas y perpendiculares. Matesfacil. ISSN 2659-8442. Disponible en: https://www.matesfacil.com/

Sapiña, R. Paralelas y perpendiculares. Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Disponible en: https://www.problemasyecuaciones.com/

Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements. Dover Publications, 1956.

Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. Open Court Publishing Company, 1928.