¿Qué es la eliminación gaussiana y cuáles son sus fundamentos en el álgebra lineal?

En el ámbito del álgebra lineal, la eliminación gaussiana y su variante conocida como el método de Gauss-Jordan son algoritmos fundamentales utilizados principalmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y determinar la matriz inversa. El procedimiento básico transforma la matriz de coeficientes asociada mediante operaciones elementales de fila hasta alcanzar una forma triangular superior o una forma escalonada reducida.

¿Cómo surgieron históricamente los métodos de reducción matricial?

Algunos casos especiales de estos métodos matemáticos ya eran conocidos por los antiguos matemáticos chinos en torno al año 179 de nuestra era. Su formulación original y sus aplicaciones prácticas aparecen detalladas en el capítulo octavo del influyente tratado matemático chino titulado Los nueve capítulos sobre el arte matemático.

Esta obra ilustra el uso de procedimientos de reducción en dieciocho problemas diferentes que contienen de dos a cinco ecuaciones cada uno. Aunque la primera referencia formal al texto data del año 179 d. C., algunas partes de su contenido fueron redactadas alrededor del año 150 a. C. Posteriormente, el célebre matemático chino Liu Hui realizó anotaciones e interpretaciones sobre estos textos durante el siglo III.

¿Cuáles son las operaciones elementales de fila permitidas en una matriz?

Para llevar a cabo la reducción de filas y simplificar un sistema sin alterar su conjunto solución, se emplean tres tipos específicos de operaciones elementales:

• Intercambiar las posiciones de dos filas entre sí.
• Multiplicar todos los elementos de una fila por un número escalar distinto de cero.
• Sumar un múltiplo escalar de una fila a otra fila diferente.

Mediante la aplicación secuencial y controlada de estas operaciones, cualquier matriz puede transformarse de manera consistente en una matriz triangular superior o en una forma escalonada plenamente definida.

¿Cómo se estructuran la forma escalonada y la forma escalonada reducida?

Una matriz se encuentra en forma escalonada cuando cumple con determinadas propiedades estructurales clave, tales como tener todas las filas compuestas enteramente por ceros situadas en la parte inferior y garantizar que el primer elemento diferente de cero de cada fila se encuentre estrictamente a la derecha del pivote de la fila anterior.

Por otro lado, la forma escalonada reducida exige además que todos los coeficientes principales o pivotes sean exactamente iguales a uno y que cada columna que contenga un pivote presente ceros en el resto de sus entradas. Esta última forma es completamente única e independiente de la secuencia de operaciones elementales utilizada para alcanzarla.

De qué manera se utiliza la eliminación gaussiana para encontrar la matriz inversa?

La eliminación gaussiana permite calcular de forma sistemática la matriz inversa de una matriz cuadrada de orden n por n. El procedimiento consiste en construir una matriz aumentada adjuntando a la matriz original una matriz identidad del mismo tamaño.

A continuación, se aplican sobre esta matriz aumentada las operaciones elementales de fila necesarias hasta reducir la sección izquierda a su forma escalonada reducida. Si dicha sección izquierda coincide finalmente con la matriz identidad, la matriz original es invertible y la sección derecha contendrá exactamente su matriz inversa.

¿Cuál es la complejidad computacional del algoritmo de eliminación gaussiana?

Desde el punto de vista del análisis algorítmico y computacional, la eliminación gaussiana posee una complejidad de orden O(n³). Esto significa que el número máximo de operaciones aritméticas elementales requeridas para completar el proceso de reducción escala de manera cúbica en función de la dimensión n de una matriz cuadrada de tamaño n por n.

Sources & Further Reading

• Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra. 5ª edición. Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.
• Grcar, Joseph F. (2011). «How ordinary elimination became Gaussian elimination». Historia Mathematica, 38(2), pp. 163–218. ISSN 0315-0860.
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.
• Calinger, Ronald (1999). A Contextual History of Mathematics. Prentice Hall. ISBN 978-0-02-318285-3.