¿Qué es un número trascendental y cuáles son sus propiedades matemáticas?

En este artículo exploraremos la naturaleza de los números trascendentales, cómo se diferencian de los números algebraicos y racionales, y qué papel desempeñan dentro del campo de la teoría de números.

¿Qué es exactamente un número trascendental?

Un número trascendente, o trascendental, se define formalmente como aquel número que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros que no sean todos nulos. En términos más intuitivos, un número real trascendente no puede ser la solución de ninguna ecuación algebraica que posea coeficientes racionales. Debido a esto, ningún número trascendental puede ser racional, por lo que todo número trascendental es necesariamente un número irracional. En el contexto de las estructuras algebraicas, si consideramos un cuerpo que es extensión de otro, un elemento es trascendente sobre el primer cuerpo si no existe ningún polinomio perteneciente a dicho cuerpo del cual el elemento sea raíz.

¿Cómo se relacionan los conjuntos numéricos y cuál es la magnitud de los números trascendentales?

El conjunto de todos los números algebraicos es un conjunto numerable, lo que contrasta fuertemente con el conjunto de los números reales, que no es numerable. Como consecuencia directa de este principio de la teoría de conjuntos, el conjunto de los números trascendentales resulta ser también no numerable y posee la potencia del continuo. Esto demuestra que, en un sentido estricto de tamaño de conjuntos, la inmensa mayoría de los números reales son trascendentales, aunque identificarlos y demostrar dicha condición de forma individual sea una tarea matemáticamente compleja.

¿Quiénes fueron los pioneros en la historia de los números trascendentales?

La denominación «trascendental» fue acuñada originalmente por Gottfried Wilhelm Leibniz en un artículo publicado en 1682, donde demostró que la función seno no es una función algebraica. Posteriormente, Leonhard Euler propuso el concepto en su sentido moderno. La existencia real de los números trascendentes fue probada de manera definitiva en 1844 por Joseph Liouville, quien más adelante construyó ejemplos concretos como la constante de Liouville. Años más tarde, Charles Hermite demostró en 1873 que el número e es trascendente sin haber sido construido artificialmente para tal fin, y en 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó la demostración de la trascendencia de pi.

¿De qué manera influyeron los números trascendentales en la resolución de problemas geométricos clásicos?

El descubrimiento y estudio de la trascendencia de ciertos números permitieron demostrar la imposibilidad lógica de resolver diversos problemas clásicos de la geometría griega que limitaban el uso exclusivamente a la regla y al compás. El caso más célebre es el de la cuadratura del círculo, cuya irresolubilidad se fundamenta precisamente en el hecho de que pi es un número trascendente. A diferencia de problemas como la duplicación del cubo o la trisección del ángulo, que dependen de polinomios de grado superior a dos y pueden abordarse modificando las reglas de construcción o empleando métodos alternativos como el origami, la cuadratura del círculo permanece intransitable debido a la naturaleza trascendental de pi.

¿Cuáles son algunos de los ejemplos más destacados de números trascendentales?

Entre los números trascendentales más estudiados y reconocidos en la literatura matemática se encuentran el número e y la constante pi. Asimismo, el teorema de Gelfond-Schneider, que resuelve parcialmente el séptimo problema de Hilbert, establece la trascendencia de números de la forma a elevada a la b cuando a es algebraico diferente de 0 y 1, y b es un número algebraico pero irracional. Otros ejemplos notables incluyen los logaritmos naturales de números racionales positivos (excepto las potencias de e), valores trigonométricos específicos de números algebraicos en radianes, la constante de Chaitin y el número de Champernowne.

Sources & Further Reading

Birkhoff-Mc Lane, Álgebra moderna, editorial Teide España.

Eric W. Weisstein, Número trascendente, MathWorld (Wolfram Research).

Tsipkin, Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú, 1985.

J.B. Fraleigh, Primer Curso de Álgebra abstracta, 7ª Ed., 2003.