¿Qué son las coordenadas esféricas y cómo se definen en el espacio tridimensional?

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea geométrica que las coordenadas polares, empleándose para determinar la posición espacial exacta de un punto mediante una magnitud radial y dos ángulos angulares distintos. En este sistema, cualquier punto P queda representado formalmente por un conjunto de tres magnitudes independientes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ, y el ángulo azimutal φ.

¿Cuáles son los convenios internacionales y estadounidenses utilizados en este sistema?

Existen diferencias notables en la nomenclatura y los rangos angulares dependiendo de la literatura técnica o geográfica consultada. La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos de ámbito internacional siguen un convenio estándar donde el azimutal se denota por φ con un rango de 0° a 360°, y la colatitud se denota por θ con un intervalo de 0° a 180°. En cambio, ciertos textos y ámbitos académicos en los Estados Unidos intercambian frecuentemente estas letras para designar el azimut y el ángulo polar.

¿Cómo se relacionan las coordenadas esféricas con las cartesianas y cilíndricas?

La correspondencia analítica entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) y las esféricas (r, θ, φ) se establece mediante transformaciones directas e inversas sobre conjuntos abiertos específicos. Mediante las relaciones geométricas, el radio se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las tres coordenadas cartesianas, mientras que las expresiones trigonométricas permiten proyectar los puntos hacia los ejes rectangulares o cilíndricos correspondientes según sea necesario para el cálculo vectorial.

¿Qué son las líneas y superficies coordenadas en este sistema ortogonal?

Las líneas coordenadas se obtienen al permitir la variación de una única coordenada mientras se mantienen estrictamente constantes las otras dos, generando semirrectas radiales, semicírculos verticales y circunferencias horizontales. Por su parte, las superficies coordenadas resultan de fijar de manera sucesiva cada parámetro individual, dando lugar a esferas centradas en el origen, conos rectos y semiplanos verticales que se intersectan perpendicularmente entre sí en cada punto del espacio.

¿Cómo se expresan los operadores diferenciales y los elementos de volumen?

A partir de la base vectorial tangente generada por las líneas coordenadas, es posible formular de manera rigurosa los operadores diferenciales fundamentales del análisis vectorial, tales como el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano. Asimismo, mediante el cálculo del determinante del jacobiano de la transformación, se obtienen los factores de escala necesarios para integrar correctamente los diferenciales de línea, superficie y volumen en problemas físicos complejos.

Sources & Further Reading

• Javier Bará Temes, Ondas electromagnéticas en comunicaciones, Univ. Politèc. de Catalunya, 2001. Enlace en Google Books
• Morse PM, Feshbach H, Methods of Theoretical Physics, Part I, McGraw-Hill, 1953.
• Moon P, Spencer DE, Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, Springer-Verlag, 1988.