¿En qué consiste la cuadratura de la lúnula y quién la descubrió?

En este artículo exploraremos la historia y la geometría detrás de uno de los problemas clásicos de las matemáticas antiguas: la cuadratura de la lúnula, desarrollada originalmente por el matemático griego Hipócrates de Quíos y ampliada posteriormente por el erudito árabe Alhacén.

¿Quién fue Hipócrates de Quíos y cuál fue su aportación a la geometría?

La cuadratura de la lúnula se debe al matemático griego Hipócrates de Quíos, quien nació en la isla de Quíos. Es importante no confundir a este geómetra con Hipócrates de Cos, el conocido médico griego considerado el padre de la medicina y precursor del juramento hipocrático, quien nació en la isla de Cos, cerca de Quíos.

Hipócrates de Quíos logró demostrar que ciertas figuras con forma de media luna, llamadas lúnulas, podían ser rectificadas mediante regla y compás, lo que significaba que se podía construir un cuadrado con exactamente la misma área que la figura curva utilizando únicamente estos instrumentos clásicos de la geometría euclidiana.

¿Cómo se forma y se calcula el área en la cuadratura de la lúnula de Hipócrates?

La cuadratura formulada por Hipócrates es un caso especial de lúnula formada por dos círculos, donde el diámetro de uno de ellos es precisamente uno de los lados del cuadrado inscrito en el primer círculo. Tal y como demostró el matemático antiguo, el área de esta lúnula equivale exactamente a la cuarta parte del cuadrado inscrito, la cual corresponde a un triángulo.

Dado que la cuadratura del triángulo ya era conocida en la antigüedad, demostrar que la lúnula poseía la misma área que dicho triángulo permitió resolver la cuadratura de esa figura curva específica utilizando exclusivamente la regla y el compás.

¿Qué aportaron las lúnulas de Alhacén al estudio de estas figuras geométricas?

El estudio de estas figuras continuó siglos después. El problema también fue abordado por el matemático árabe Alhacén, quien vivió entre los años 945 y 1040, y que propuso una formulación similar en la cual intervienen dos lúnulas simultáneamente.

Las dos lunas formadas a partir de un triángulo rectángulo erigiendo un semicírculo en cada uno de los lados del triángulo —hacia el interior de la hipotenusa y hacia afuera de los otros dos catetos— son conocidas actualmente como las lunas de Alhacén. Estas dos lunas juntas tienen exactamente la misma área total que el propio triángulo rectángulo original.

¿Por qué son relevantes históricamente las lúnulas cuadrables en matemáticas?

La resolución de la cuadratura de la lúnula representó uno de los primeros éxitos históricos en la tarea de calcular el área de regiones delimitadas por líneas curvas mediante métodos geométricos exactos. Aunque durante la antigüedad griega el problema de la cuadratura del círculo completo demostró ser imposible de resolver mediante regla y compás, el éxito parcial con las lúnulas de Hipócrates y posteriormente con las de Alhacén demostró que ciertas áreas curvilíneas sí podían relacionarse de forma exacta con figuras rectilíneas conocidas como los triángulos.

Sources & Further Reading

Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010). «9.1 Squarable lunes», Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics, Dolciani mathematical expositions 42, Mathematical Association of America, pp. 137-144. ISBN: 978-0-88385-348-1. Disponible en Google Books: https://books.google.com/books?id=mIT5-BN_L0oC